# 算法

## 恒定乘积做市商模型

交易所如果要去中心化、也不使用挂单 order book，就需要靠算法自动算出交易标的的数量与价格，而 Uniswap 使用名为恒定乘积的演算法，其来源可追溯自 Vitalik 的这篇 [文章](https://ethresear.ch/t/improving-front-running-resistance-of-x-y-k-market-makers/1281)。

公式非常的简单：x *y = k。令交易的两加密货币为 X 和 Y，各自数量为 x 和 y，两货币数量的乘积 x* y 恒等于 k，k 值是由第一笔注入的流动性所决定。

因此，用 ∆x 数量的 X 币来购买 Y 币所能得到的数量 ∆y、或是为了购买 ∆y 需要付出的 ∆x 数量，依照此公式进行计算：(x+∆x)(y-∆y) = k，而交易的价格就是两币量 ∆x 和 ∆y 的比。

以下公式用 α = ∆x /x 和 β = ∆y /y 来表示 ∆x 和 ∆y 及 X Y 两币在交易发生后的新均衡数量：

![](https://assets.exincdn.com/images/exinswap/algorithm/jrnj6lw.png)

## 计入手续费

在 Uniswap 进行的每一笔交易都会被收取 ρ = 0.003 / 0.3% 的手续费回馈给流动性提供者 liquidity provider ，因此要将手续费纳入公式的考量：

![](https://assets.exincdn.com/images/exinswap/algorithm/gaj6fd1.png)

上图的公式或许不太直觉，建议不要从 x’ρ 及 y’ρ 开始理解，而是从 ∆x 和 ∆y 两值开始：手续费 ρ = 0.3% 的意思是会从付款中扣掉 0.3 %，也就是从 ∆x 扣。在有手续费的情况下 ∆x 就变成了 (1-ρ)∆x ，若令 γ = 1-ρ 则为 γ∆x。因此，将图一中的 ∆x 换成 γ∆x，就会得到以下公式：

![](https://assets.exincdn.com/images/exinswap/algorithm/w26x21b.png)

将等号左方的 γ 移到右方后就得到了图二中的 ∆x。同理，由于 ∆y 中的 α = ∆x /x ，用 γ∆x 代换 ∆x 就会得到图二中的 ∆y (有 α 的地方乘上 γ)。而 x’ 还有 y’ 就可以由 ∆x 和 ∆y 推演出来了。然而，将图二中得到的 x’ 和 y’ 相乘，会得到：

![](https://assets.exincdn.com/images/exinswap/algorithm/mz0xjxk.png)

也就是说，当有手续费使得 γ != 1 /ρ != 0，x’ρ *y’ρ 的值其实会稍微和 xy = k 不同：在实际上 γ = 0.997 / ρ = 0.003，因此 1/γ-1 ≒ 0.003。β = ∆y /y 代表的是换得的 Y 币占总量的比例，即使最大值为 1，误差也只有 1* 0.003，故可知手续费 = 0.3% 对于 k 值的影响极小。

## Uniswap 白皮书

如果您想了解 Uniswap 的更多细节，可以参考 Uniswap 白皮书。

链接：<https://uniswap.org/whitepaper.pdf>


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